Elementy geometrii analitycznej

Znajdziemy teraz wzór na odleg lość punktu (x0, y0) od prostej, wspó lrze↪dne punktów której spe lniaja↪ równanie ax+by+c = 0 . Oczywíscie po to, by to równanie przedstawia lo prosta↪ trzeba za lożyć, że wektor [a, b] nie jest wektorem zerowym, czyli że [a, b] 6= [0, 0] . Odleg lość punktów (x1, y1) i (x2, y2) to √ (x1 − x2) + (y1 − y2) . Wynika to natychmiast z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójka↪ta o wierzcho lkach (x1, y1) , (x1, y2) i (x2, y2) . Jego pionowy bok ma d lugość |y2 − y1| , a poziomy — |x2 − x1| . W przestrzeni trójwymiarowej odleg lość punktów (x1, y1, z1) i (x2, y2, z2) jest równa √ (x1 − x2) + (y1 − y2) + (z1 − z2) . W tym przypadku stosujemy wzór uzyskany dla punktów p laszczyzny dla znalezienia odleg lości punktów (x1, y1, z1) i (x2, y2, z1) , a naste↪pnie twierdzenie Pitagorasa do trójka↪ta pionowego o wierzcho lkach (x1, y1, z1) , (x2, y2, z1) i (x2, y2, z2) . Przypomnimy twierdzenie kosinusów: jeśli a, b, c sa↪ bokami trójka↪ta o wierzcho lkach A,B,C (wierzcho lek A leży naprzeciw boku a itd.), to